BioReact Lite

μ_max (h^-1) K_s (g/L) K_i (g/L) K_ip (g/L) k_p (L/g) Y_x/s (g/g) k_d (h^-1) Modelo q_p α (g_P/g_X) β (g_P/g_X/h)

Volumen de trabajo V₀ (L) F (L/h) Límite de volumen Capacidad máxima V_max (L) S_r (sustrato en alimentación, g/L) D (h^-1)

X₀ (g/L) S₀ (g/L) P₀ (g/L) Δt (h) Tiempo final (h)

Parámetros del lazo de control y referencia deseada.

Variable controlada Actuador S_set (g/L) K_c (h^-1 / (g/L)) τ_I (h) τ_D (h) D mínimo D máximo

X final —

S final —

P final —

μ pico —

Agotamiento —

V final —

Actuador final —

Trayectorias temporales

Biomasa X (verde), sustrato S (naranja), producto P (azul) y velocidad específica μ.

Diagrama de fases X–S

Trayectoria del cultivo en el plano biomasa–sustrato.

Volumen y caudales

Evolución de V (L), F (L/h) y D (h^-1) en el tiempo.

Seguimiento de control

Variable controlada vs. setpoint y accion del actuador.

Guía de interpretación

De los principios biologicos a las ecuaciones que mueven la simulacion

Explora de dónde vienen las ecuaciones del modelo: qué significa μ, cómo se construye un balance de masa para un biorreactor y qué representa cada término en los balances de biomasa, sustrato, producto y volumen.

Velocidad específica μ Tasa de dilución D Balances de masa Modos de cultivo Integracion numerica RK4 Control P, I y D

Ecuación de crecimiento: Monod

μ(S) = μ_maxSK_s + S

La velocidad específica de crecimiento aumenta con el sustrato y se aproxima a un máximo cuando el medio deja de ser limitante.

Balances del cultivo en lote

dX/dt = μX

dS/dt = −μXY_x/s

dP/dt = q_pX

dV/dt = F

q_p = αμ

E(t) = S(t) - Ŝ

D(t) = D̂ + K_cE(t)

¿Qué es μ, la velocidad específica de crecimiento?

μ tiene unidades de h⁻¹. El calificativo específica significa que está normalizada por la biomasa presente: el producto μ · X da la velocidad volumétrica real de producción de células (g_XL · h). Si duplicas la biomasa con la misma μ, el cultivo crece el doble de rápido en conjunto, pero cada célula trabaja igual.

μ_max — velocidad máxima cuando el sustrato es abundante (S ≫ K_s).
K_s — concentración de sustrato a la que μ = μ_max / 2. Cuanto menor K_s, mayor afinidad del microorganismo por el sustrato.

Monod captura la saturación cinética: a S bajo, μ ≈ μ_maxK_s · S y el crecimiento es casi proporcional a S; a S alto, μ → μ_max y añadir más sustrato no acelera el crecimiento. Los modelos de Haldane e inhibición por producto extienden esta idea cuando el sustrato en exceso o el producto acumulado perjudican al microorganismo.

El balance de masa: principio general

Todo modelo dinámico de un biorreactor parte de la conservación de masa aplicada a un volumen de control bien mezclado:

Acumulación = Entrada − Salida + Generación por reacción

Acumulación es d(C · V)dt. Cuando V es constante se simplifica a dCdt. En lote alimentado V crece con el tiempo, por lo que expandir d(C · V)dt introduce un término proporcional a FV que actúa como dilución de la concentración, incluso sin efluente.

Entrada / Salida: en lote no hay flujos; en lote alimentado solo hay entrada estéril; en continuo entran y salen caudales iguales.

Generación: actividad biológica — crecimiento, consumo de sustrato y síntesis de metabolitos. La forma cinética de este término es lo que distingue cada modelo.

La tasa de dilución D

La tasa de dilución cuantifica qué fracción del volumen del reactor se renueva por unidad de tiempo:

D = FV (h⁻¹)

Su interpretación y comportamiento difieren según el modo de cultivo:

Lote D = 0 No hay flujos. Los balances no incluyen término de dilución.

Lote alimentado D(t) = FV(t) D varía con el tiempo. Si F es constante y V crece, D disminuye progresivamente.

Continuo (quimiostato) D = FV = cte. V se mantiene fijo porque F_in = F_out. El operador controla D directamente. Estado estacionario: cuando D = μ, la biomasa se mantiene constante.

Balance de biomasa

Lote dXdt = μX Sin flujos. La biomasa solo crece mientras haya sustrato.

Lote alimentado dXdt = (μ − D(t))X El término −D(t)X proviene de expandir d(XV)/dt: al crecer V, parte de X se diluye aunque no exista efluente.

Continuo dXdt = (μ − D)X D es constante. Si D > μ la biomasa declina hasta desaparecer (washout).

Con muerte celular dXdt = (μ − k_d − D)X k_d actúa como una dilución interna adicional.

Balance de sustrato y rendimiento

El rendimiento biomasa–sustrato Y_x/s indica cuánta biomasa se produce por gramo de sustrato consumido. La velocidad específica de consumo es:

q_s = μY_x/s

Lote dSdt = −μXY_x/s Solo consumo. S únicamente decrece, hasta agotarse.

Lote alimentado dSdt = D(t)(S_r − S) − μXY_x/s S_r es la concentración de sustrato en la alimentación.

Continuo dSdt = D(S_r − S) − μXY_x/s En estado estacionario el sustrato residual S se mantiene constante.

Balance de producto: Luedeking–Piret

q_p = αμ + β

α — coeficiente asociado al crecimiento.

β — coeficiente no asociado al crecimiento. Las células siguen produciendo aunque estén en reposo.

Lote dPdt = q_pX El producto solo se acumula; no hay salida.

Lote alimentado dPdt = q_pX − D(t)P La concentración de producto cae por dilución al aumentar V.

Continuo dPdt = q_pX − DP En estado estacionario, q_pX = DP.

Cómo funciona la simulación numérica

¿Qué significa la simulación?

El sistema de ecuaciones diferenciales acopladas no tiene solución analítica cerrada cuando μ depende de S de forma no lineal. La app parte de las condiciones iniciales X₀, S₀ y P₀ y avanza el sistema discretizado en pequeños pasos Δt.

Cambiar un parámetro modifica la pendiente local del sistema en cada punto: por eso todas las curvas responden simultáneamente al mover un control.

Integración numérica: Runge-Kutta de 4.º orden

Runge-Kutta de cuarto orden evalúa cuatro pendientes dentro del mismo intervalo y las combina con pesos óptimos:

k₁ = Δt · f(t_n, y_n) — pendiente al inicio

k₂ = Δt · f(t_n + Δt/2, y_n + k₁/2) — primer punto medio

k₃ = Δt · f(t_n + Δt/2, y_n + k₂/2) — segundo punto medio

k₄ = Δt · f(t_n + Δt, y_n + k₃) — pendiente al final

y_n+1 = y_n + k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄6

El vector de estado y = [X, S, P] avanza con error global de O(Δt⁴).

Análisis de estabilidad

Linealización, eigenvalores y control en lazo cerrado

Desarrolla paso a paso los cálculos del libro: linealización del quimiostato alrededor del estado estacionario, matriz jacobiana A y vector de entrada B, eigenvalores de lazo abierto y de lazo cerrado A_cl = A + BK, y la condición explícita sobre K_c que garantiza la estabilidad.

Variables de desviación Jacobiano A, vector B Eigenvalores λ₁, λ₂ Lazo cerrado A_cl Condición de estabilidad K_c Eigenvectores

Resultados para los parámetros actuales

Activa el modo continuo con cinética de Monod o Haldane para ver los cálculos en tiempo real.

El sistema no lineal: punto de partida

Los balances del quimiostato con dilución variable son un sistema de dos EDOs acopladas. Escrito en función de las dos variables de estado X y S, con D(t) como entrada:

f₁(X,S,D) = dXdt = (μ(S) − D)X

f₂(X,S,D) = dSdt = D(S_r − S) − μ(S)XY_x/s

La no linealidad viene del producto μ(S)·X y del producto D·S. No existe solución analítica cerrada cuando μ(S) es no lineal. Sin embargo, cerca de cualquier punto de operación estacionario se puede sustituir el sistema por uno lineal, que sí tiene solución exacta.

Variables de desviación: reescribir el sistema alrededor de (X̂, Ŝ, D̂)

Sea (X̂, Ŝ, D̂) el estado estacionario de interés. Se cumple que f₁(X̂, Ŝ, D̂) = 0 y f₂(X̂, Ŝ, D̂) = 0, es decir:

(μ(Ŝ) − D̂)X̂ = 0 ⇒ μ(Ŝ) = D̂

D̂(S_r − Ŝ) − μ(Ŝ)X̂/Y_x/s = 0 ⇒ X̂ = (S_r − Ŝ)Y_x/s

X = X̂ + X' S = Ŝ + S' D = D̂ + D'

La ley de control proporcional en variables de desviación es simplemente
D'(t) = K_c·S'(t) ⟺ D(t) = D̂ + K_c(S(t) − Ŝ)

Linealización del balance de biomasa

Balance de biomasa: resultado de la linealización

Resultado dX'dt = X̂μ'(Ŝ)·S' − X̂·D'

El coeficiente de S' es a₁₂ = X̂·μ'(Ŝ) y el de D' es b₁ = −X̂. El coeficiente de X' es cero: la biomasa no se autoregula directamente.

Linealización del balance de sustrato

Balance de sustrato: resultado de la linealización

Resultado dS'dt = −D̂Y_x/s·X' + (−D̂ − X̂μ'(Ŝ)Y_x/s)·S' + (S_r−Ŝ)·D'

Los coeficientes son a₂₁ = −D̂/Yₓ/ₛ, a₂₂ = −D̂ − X̂μ'(Ŝ)/Yₓ/ₛ y b₂ = Sᵣ − Ŝ.

La jacobiana en forma matricial

El sistema linealizado: forma matricial

Matriz A (jacobiana del sistema en lazo abierto):

A = ⎡ a₁₁ a₁₂ ⎤ = ⎡ 0 X̂·μ'(Ŝ) ⎤

⎣ a₂₁ a₂₂ ⎦ ⎣ −D̂/Yₓₛ −D̂ − X̂·μ'(Ŝ)/Yₓₛ ⎦

Vector B:

B = ⎡ b₁ ⎤ = ⎡ −X̂ ⎤

⎣ b₂ ⎦ ⎣ Sᵣ − Ŝ ⎦

Por qué a₁₁ = 0 siempre: en el balance de biomasa, ∂f₁/∂X evaluada en el SS es μ(Ŝ) − D̂ = 0.

Por qué a₂₁ < 0 siempre: más biomasa consume más sustrato, reduciendo la tasa de cambio de S.

El lazo cerrado: cómo D' = K_c·S' modifica la jacobiana

A_cl = A + B·K: la matriz completa de lazo cerrado

A_cl = A + B·K, con K = [0, K_c]

a_cl,12 = a₁₂ + b₁K_c = X̂(μ'(Ŝ) − K_c)

a_cl,22 = a₂₂ + b₂K_c = −D̂ − X̂μ'(Ŝ)/Yₓₛ + (Sᵣ−Ŝ)K_c

Condición de estabilidad y eigenvalores

Condición de estabilidad: cuándo ambos eigenvalores son negativos

Para que A_cl sea estable se necesitan tr(A_cl) < 0 y det(A_cl) > 0:

tr < 0 K_c < −a₂₂S_r−Ŝ

det > 0 K_c < μ'(Ŝ) [más restrictiva en SS₂ de Haldane]

Ecuación característica de A_cl:
λ² − tr(A_cl)·λ + det(A_cl) = 0

Si Δ = tr² − 4·det > 0 → dos eigenvalores reales (nodo).
Si Δ < 0 → eigenvalores complejos conjugados (foco); la parte real es tr/2.

Eigenvectores: las direcciones de convergencia

Para cada eigenvalor λᵢ, el eigenvector vᵢ satisface (A_cl − λᵢI)vᵢ = 0. Con a_cl,11 = 0:

v_Sv_X = λᵢa_cl,12

La solución general al sistema linealizado es:

[X'(t), S'(t)]^T = c₁·e^λ₁t·v₁ + c₂·e^λ₂t·v₂

Si ambos λ son negativos, ambos términos decaen y el sistema converge a (X̂, Ŝ).