Trayectorias temporales
Cambios netos y tasa específica de producto
Evolución del volumen
Constante en lote y quimiostato; creciente en lote alimentado.
Guía de interpretación
De los principios biológicos a las ecuaciones que mueven la simulación
Explora de dónde vienen las ecuaciones del modelo: qué significa μ, cómo se construye un balance de masa para un biorreactor y qué representa cada término en los balances de biomasa, sustrato, producto y volumen.
Velocidad específica μ
Tasa de dilución D
Balances de masa
Modos de cultivo
Integración numérica RK4
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Ecuación de crecimiento: Monod
μ(S) = μmaxSKs + S
La velocidad específica de crecimiento aumenta con el sustrato y se aproxima a un máximo cuando el medio deja de ser limitante.
Balances del cultivo en lote
dX/dt = μX
dS/dt = −μXYx/s
dP/dt = qpX
dV/dt = F
qp = αμ
¿Qué es μ, la velocidad específica de crecimiento?
μ tiene unidades de h−1. El calificativo específica significa que está normalizada por la biomasa presente: el producto μ · X da la velocidad volumétrica real de producción de células (gXL · h). Si duplicas la biomasa con la misma μ, el cultivo crece el doble de rápido en conjunto, pero cada célula trabaja igual.
μmax — velocidad máxima cuando el sustrato es abundante
(S ≫ Ks).
Ks — concentración de sustrato a la que μ = μmax / 2. Cuanto menor Ks, mayor afinidad del microorganismo por el sustrato.
Ks — concentración de sustrato a la que μ = μmax / 2. Cuanto menor Ks, mayor afinidad del microorganismo por el sustrato.
Monod captura la saturación cinética: a S bajo, μ ≈ μmaxKs · S y el crecimiento es casi proporcional a S; a S alto, μ → μmax y añadir más sustrato no acelera el crecimiento. Los modelos de Haldane e inhibición por producto extienden esta idea cuando el sustrato en exceso o el producto acumulado perjudican al microorganismo.
El balance de masa: principio general
Todo modelo dinámico de un biorreactor parte de la conservación de masa aplicada a un volumen de control bien mezclado:
Acumulación = Entrada − Salida + Generación por reacción
Acumulación es d(C · V)dt. Cuando V es constante se simplifica a dCdt. En lote alimentado V crece con el tiempo, por lo que expandir d(C · V)dt introduce un término proporcional a FV que actúa como dilución de la concentración, incluso sin efluente.
Entrada / Salida: en lote no hay flujos; en lote alimentado solo hay entrada estéril; en continuo entran y salen caudales iguales.
Generación: actividad biológica — crecimiento, consumo de sustrato y síntesis de metabolitos. La forma cinética de este término es lo que distingue cada modelo.
La tasa de dilución D
La tasa de dilución cuantifica qué fracción del volumen del reactor se renueva por unidad de tiempo:
D = FV
(h−1)
Su interpretación y comportamiento difieren según el modo de cultivo:
Lote
D = 0
No hay flujos. Los balances no incluyen término de dilución.
Lote alimentado
D(t) = FV(t)
D varía con el tiempo. Si F es constante y V crece,
D disminuye progresivamente. La dilución es máxima al inicio:
D0 = FV0.
Si se activa Vmax, la alimentación se corta cuando V = Vmax y D cae a cero.
Continuo (quimiostato)
D = FV = cte.
V se mantiene fijo porque Fin = Fout. El operador controla D directamente.
Estado estacionario: cuando D = μ, la biomasa se mantiene constante.
Lavado (washout): si D > μ, las células salen más rápido de lo que crecen y X → 0.
Balance de biomasa
Con alimentación estéril (sin células en la entrada), la generación es μX y el término de salida depende de si hay flujo y de si existe muerte celular:
Lote
dXdt = μX
Sin flujos. La biomasa solo crece mientras haya sustrato.
Lote alimentado
dXdt = (μ − D(t))X
El término −D(t)X proviene de expandir
d(XV)dt:
al crecer V, parte de X se diluye aunque no exista efluente.
Como D(t) = FV(t) decrece con el tiempo, su efecto se atenúa conforme el reactor se llena.
Continuo
dXdt = (μ − D)X
D es constante. Si D > μ la biomasa declina hasta desaparecer (washout).
Con muerte celular
dXdt = (μ − kd − D)X
kd (h−1) es la tasa de decaimiento endógeno. Actúa como un término de pérdida adicional, análogo a una dilución interna.
Balance de sustrato y rendimiento
El rendimiento biomasa–sustrato Yx/s (gXgS) indica cuánta biomasa se produce por gramo de sustrato consumido. La velocidad específica de consumo es:
qs = μYx/s
El término de consumo en los balances es −μXYx/s. Un Yx/s alto indica menor costo metabólico de sustrato por gramo de biomasa producida.
Lote
dSdt = −μXYx/s
Solo consumo. S únicamente decrece, hasta agotarse o hasta que el crecimiento cesa.
Lote alimentado
dSdt = D(t)(Sr − S) − μXYx/s
Sr es la concentración de sustrato en la alimentación.
El término D(t)(Sr − S) aporta sustrato cuando
Sr > S y lo diluye cuando Sr < S.
Como D(t) decrece con el tiempo, el aporte neto de la alimentación también se atenúa.
Continuo
dSdt = D(Sr − S) − μXYx/s
D es constante. D ċ Sr entra con la alimentación y D ċ S sale con el efluente. En estado estacionario el sustrato residual
S se mantiene constante, fijado por D y la cinética.
Balance de producto: Luedeking–Piret
La velocidad específica de formación de producto qp se modela con la expresión de Luedeking–Piret, que combina un término ligado al crecimiento y uno independiente:
qp = αμ + β
α
(gPgX)
— coeficiente asociado al crecimiento.
El producto se forma en proporción a μ; si las células dejan de crecer (μ = 0), este término desaparece.
β (gPgX · h) — coeficiente no asociado al crecimiento. Las células siguen produciendo aunque estén en reposo (p. ej. metabolitos de mantenimiento).
Esta app implementa los dos casos límite: β = 0 (solo asociado) y α = 0 (solo no asociado). Si se elige sin producto, qp = 0.
β (gPgX · h) — coeficiente no asociado al crecimiento. Las células siguen produciendo aunque estén en reposo (p. ej. metabolitos de mantenimiento).
Esta app implementa los dos casos límite: β = 0 (solo asociado) y α = 0 (solo no asociado). Si se elige sin producto, qp = 0.
Lote
dPdt = qpX
El producto solo se acumula; no hay salida.
Lote alimentado
dPdt = qpX − D(t)P
No hay efluente, pero la concentración de producto cae por dilución al aumentar V.
Continuo
dPdt = qpX − DP
El término −DP representa el producto arrastrado por el efluente. En estado estacionario, qpX = DP.
Volumen del reactor: V0 y Vmax
El volumen V no juega el mismo papel en los tres modos de cultivo, y su evolución determina si aparece un término de dilución en los balances de concentración:
Lote
dVdt = 0
No entra ni sale líquido. V = V0 durante toda la operación; no existe dilución por expansión.
Lote alimentado
dVdt = F
El volumen crece desde V0 (volumen inicial de operación). Si se activa el límite de reactor,
la alimentación se corta automáticamente cuando V = Vmax (capacidad física máxima).
Se requiere V0 ≤ Vmax; la simulación lo impone.
Continuo
dVdt = Fin − Fout = 0
Entran y salen caudales iguales. V = V0 constante; D = FV0 fijo.
En lote alimentado, Vmax modela la capacidad real del biorreactor. Operaciones cerca del límite implican que D(t) = FV(t) disminuye rápidamente y el efecto de la alimentación sobre la concentración de sustrato se atenúa antes de lo esperado.
Cómo funciona la simulación numérica
¿Qué significa la simulación?
El sistema de ecuaciones diferenciales acopladas no tiene solución analítica cerrada cuando μ depende de S de forma no lineal. La app parte de las condiciones iniciales X0, S0 y P0 y avanza el sistema discretizado en pequeños pasos Δt.
En cada paso: (1) calcula μ a partir del S y P actuales, (2) evalúa simultáneamente dXdt, dSdt y dPdt, y (3) actualiza el estado del cultivo. El resultado es la trayectoria numérica X(t), S(t), P(t) — y V(t) en lote alimentado.
Cambiar un parámetro modifica la pendiente local del sistema en cada punto: por eso todas las curvas responden simultáneamente al mover un control.
Integración numérica: Runge-Kutta de 4.º orden
El método de Euler usa una sola pendiente por intervalo: sencillo, pero el error se acumula en O(Δt2). Runge-Kutta de cuarto orden evalúa cuatro pendientes dentro del mismo intervalo y las combina con pesos óptimos:
k1 = Δt · f(tn, yn) — pendiente al inicio
k2 = Δt · f(tn + Δt/2, yn + k1/2) — primer punto medio
k3 = Δt · f(tn + Δt/2, yn + k2/2) — segundo punto medio
k4 = Δt · f(tn + Δt, yn + k3) — pendiente al final
yn+1 = yn +
k1 + 2k2 + 2k3 + k46
El vector de estado y = [X, S, P] (más V en lote alimentado) avanza con error global de O(Δt4): cuatro órdenes de magnitud mejor que Euler por cada reducción a la mitad de Δt. Por eso se pueden usar pasos de Δt = 0.05 h sin que las curvas diverjan.