¿Qué es μ, la velocidad específica de crecimiento?

μ tiene unidades de h⁻¹. El calificativo específica significa que está normalizada por la biomasa presente: el producto μ · X da la velocidad volumétrica real de producción de células (g_XL · h). Si duplicas la biomasa con la misma μ, el cultivo crece el doble de rápido en conjunto, pero cada célula trabaja igual.

Monod captura la saturación cinética: a S bajo, μ ≈ μ_maxK_s · S y el crecimiento es casi proporcional a S; a S alto, μ → μ_max y añadir más sustrato no acelera el crecimiento. Los modelos de Haldane e inhibición por producto extienden esta idea cuando el sustrato en exceso o el producto acumulado perjudican al microorganismo.

El balance de masa: principio general

Todo modelo dinámico de un biorreactor parte de la conservación de masa aplicada a un volumen de control bien mezclado:

Acumulación es d(C · V)dt. Cuando V es constante se simplifica a dCdt. En lote alimentado V crece con el tiempo, por lo que expandir d(C · V)dt introduce un término proporcional a FV que actúa como dilución de la concentración, incluso sin efluente.

Entrada / Salida: en lote no hay flujos; en lote alimentado solo hay entrada estéril; en continuo entran y salen caudales iguales.

Generación: actividad biológica — crecimiento, consumo de sustrato y síntesis de metabolitos. La forma cinética de este término es lo que distingue cada modelo.

La tasa de dilución D

La tasa de dilución cuantifica qué fracción del volumen del reactor se renueva por unidad de tiempo:

Su interpretación y comportamiento difieren según el modo de cultivo:

Balance de biomasa

Con alimentación estéril (sin células en la entrada), la generación es μX y el término de salida depende de si hay flujo y de si existe muerte celular:

Balance de sustrato y rendimiento

El rendimiento biomasa–sustrato Y_x/s (g_Xg_S) indica cuánta biomasa se produce por gramo de sustrato consumido. La velocidad específica de consumo es:

El término de consumo en los balances es −μXY_x/s. Un Y_x/s alto indica menor costo metabólico de sustrato por gramo de biomasa producida.

Balance de producto: Luedeking–Piret

La velocidad específica de formación de producto q_p se modela con la expresión de Luedeking–Piret, que combina un término ligado al crecimiento y uno independiente:

Volumen del reactor: V₀ y V_max

El volumen V no juega el mismo papel en los tres modos de cultivo, y su evolución determina si aparece un término de dilución en los balances de concentración:

¿Qué significa la simulación?

El sistema de ecuaciones diferenciales acopladas no tiene solución analítica cerrada cuando μ depende de S de forma no lineal. La app parte de las condiciones iniciales X₀, S₀ y P₀ y avanza el sistema discretizado en pequeños pasos Δt.

En cada paso: (1) calcula μ a partir del S y P actuales, (2) evalúa simultáneamente dXdt, dSdt y dPdt, y (3) actualiza el estado del cultivo. El resultado es la trayectoria numérica X(t), S(t), P(t) — y V(t) en lote alimentado.

Cambiar un parámetro modifica la pendiente local del sistema en cada punto: por eso todas las curvas responden simultáneamente al mover un control.

Integración numérica: Runge-Kutta de 4.º orden

El método de Euler usa una sola pendiente por intervalo: sencillo, pero el error se acumula en O(Δt²). Runge-Kutta de cuarto orden evalúa cuatro pendientes dentro del mismo intervalo y las combina con pesos óptimos:

El vector de estado y = [X, S, P] (más V en lote alimentado) avanza con error global de O(Δt⁴): cuatro órdenes de magnitud mejor que Euler por cada reducción a la mitad de Δt. Por eso se pueden usar pasos de Δt = 0.05 h sin que las curvas diverjan.